加法定理とトレミーの定理
三角関数の加法定理の証明には，いろいろな方法が考えられる。図形的な証明法の１つとして，
トレミーの定理を用いた証明がある。
トレミーの定理とは，
右図のような円に内接する四角形\(\mathrm{ ABCD }\)において，
\(\mathrm{ AB･CD + BC･DA = AC･BD } \)
が成立する，
である。
図Ⅰのように，対角線\( \mathrm{ AC } \)の長さが 1 で，\( \mathrm{ AC } \)を直径とする円に内接する四角形\( \mathrm{ ABCD } \)を考える。
ここで，\( ∠\mathrm{ DAC }=\alpha \)，\(∠\mathrm{ BAC }=\beta \) とすると，
\(\mathrm{ AC }=1 \)，
\(∠\mathrm{ ABC }=∠\mathrm{ ADC }=90° \) より，
\( \mathrm{ AB }=\cos\beta \)，
\( \mathrm{ BC }=\sin\beta \)，
\( \mathrm{ CD }=\sin\alpha \)，
\( \mathrm{ DA }=\cos\alpha \) であり，
正弦定理より，
\( \mathrm{ BD }=\sin(\alpha+\beta) \)
である。
ここでトレミーの定理より，
\( \cos\beta･\sin\alpha+\sin\beta･\cos\alpha = 1･\sin(\alpha+\beta) \)
\(\sin(\alpha+\beta) =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \)
となり，加法定理が成立する。
また，図Ⅱのように \( \mathrm{ AB }\ =\ 1\) で \( \mathrm{ AB } \) を直径とする円に内接する四角形\( \mathrm{ ABCD } \)において，
\( ∠\mathrm{ BAD }=\alpha \)，
\(∠\mathrm{ BAC }=\beta \) とすると，
\( 1･\sin(\alpha-\beta) + \sin\beta･\cos\alpha =\cos\beta･\sin\alpha \)
\( \sin(\alpha-\beta) =\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \)
となり，このときも成立することがわかる。
この状況では，\( 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2} \)，\( 0\lt\beta\lt\frac{\pi}{2} \) であったり,
\( 0\lt\alpha\lt\beta\lt\frac{\pi}{2} \) であったりする。
ここで，
\( \sin(-\alpha)=-\sin\alpha \) ，
\( \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha \)，
\( \sin(\alpha+2n\pi )=\sin\alpha （n は整数）\)
などを利用することにより，一般角における加法定理を証明することが可能である。
